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基本介紹：在平面區域上的二重積分也可以通過沿區域的邊界曲線上的曲線積分來表示。

詳細介紹

折疊單連通區域的概念：設d為平面區域,如果d內任一閉曲線所圍的部分區域都屬于d,則d稱為平面單連通區域;否則稱為復連通區域。通俗地講,單連通區域是不含”洞”(包括”點洞”)與”裂縫”的區域。

折疊區域的邊界曲線的正向規定：設是平面區域的邊界曲線,規定的正向為:當觀察者沿的這個方向行走時,平面區域(也就是上面的d)內位于他附近的那一部分總在他的左邊。簡言之:區域的邊界曲線的正向應符合條件:人沿曲線走,區域在左邊，人走的方向就是曲線的正向。

折疊格林公式：【定理】設閉區域由分段光滑的曲線圍成,函數及在上具有一階連續偏導數,則有

(1)∮cp(x,y)dxq(x,y)∫d()dxdy

其中是的取正向的邊界曲線.

公式(1)叫做格林公式.

【證明】先證：假定區域的形狀如下(用平行于軸的直線穿過區域,與區域邊界曲線的交點至多兩點)

易見,圖二所表示的區域是圖一所表示的區域的一種特殊情況,我們僅對圖一所表示的區域給予證明即可.

另一方面,據對坐標的曲線積分性質與計算法有

因此

再假定穿過區域內部且平行于軸的直線與的的邊界曲線的交點至多是兩點,用類似的方法可證

綜合有當區域的邊界曲線與穿過內部且平行于坐標軸(軸或軸)的任何直線的交點至多是兩點時,我,同時成立.將兩式合并之后即得格林公式

注:若區域不滿足以上條件,即穿過區域內部且平行于坐標軸的直線與邊界曲線的交點超過兩點時,可在區域內引進一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分區域,使得每個部分區域適合上述條件,仍可證明格林公式成立.格林公式溝通了二重積分與對坐標的曲線積分之間的聯系,因此其應用十分地廣泛.

相關介紹：對坐標的曲線積分與路徑無關的定義

【定義一】設是一個開區域,函數,在內具有一階連續偏導數,如果對于內任意兩點,以及內從點到點的任意兩條曲線,,等式恒成立,就稱曲線積分在內與路徑無關;否則,稱與路徑有關.定義一還可換成下列等價的說法若曲線積分與路徑無關,那么即:在區域內由所構成的閉合曲線上曲線積分為零.反過來,如果在區域內沿任意閉曲線的曲線積分為零,也可方便地導出在內的曲線積分與路徑無關.

【定義二】曲線積分在內與路徑無關是指,對于內任意一條閉曲線,恒有

折疊曲線積分與路徑無關的條件

【定理】設開區域是一個單連通域,函數,在內具有一階連續偏導數,則在內曲線積分與路徑無關的充分必要條件是等式在內恒成立.證明:先證充分性在內任取一條閉曲線,因單連通,故閉曲線所圍成的區域全部在內.從而在上恒成立.由格林公式,有依定義二,在內曲線積分與路徑無關.再證必要性(采用反證法)假設在內等式不恒成立,那么內至少存在一點,使不妨設由于在內連續,在內存在一個以為圓心,半徑充分小的圓域,使得在上恒有由格林公式及二重積分性質有這里是的正向邊界曲線,是的面積.這與內任意閉曲線上的曲線積分為零的條件相矛盾.故在內等式應恒成立.注明:定理所需要的兩個條件缺一不可.【反例】討論,其中是包圍原點的一條分段光滑曲線且正向是逆時針的.這里除去原點外,在所圍成的區域內存在,連續,且.在內,作一半徑充分小的圓周在由與所圍成的復連通域內使用格林公式有

高斯公式

高斯定理，靜電場的基本方程之一，它給出了電場強度在任意封閉曲面上的面積分和包圍在封閉曲面內的總電量之間的關系。

高斯定理定義：通過任意閉合曲面的電通量等于該閉合曲面所包圍的所有電荷量的代數和與電常數之比。應用學科：電力（一級學科）；通論（二級學科）

折疊高斯定理:矢量分析的重要定理之一。穿過一封閉曲面的電通量與封閉曲面所包圍的電荷量成正比。換一種說法：電場強度在一封閉曲面上的面積分與封閉曲面所包圍的電荷量成正比由于磁力線總是閉合曲線，因此任何一條進入一個閉合曲面的磁力線必定會從曲面內部出來，否則這條磁力線就不會閉合起來了。如果對于一個閉合曲面，定義向外為□□線的指向，則進入曲面的磁通量為負，出來的磁通量為正，那么就可以得到通過一個閉合曲面的總磁通量為0。這個規律類似于電場中的高斯定理，因此也稱為高斯定理

電場強度e在任意面積上的面積分

稱為電場強度對該面積的通量。根據庫侖定律可以證明電場強度對任意封閉曲面的通量正比于該封閉曲面內電荷的代數和，(1)

這就是高斯定理。它表示，電場強度對任意封閉曲面的通量只取決于該封閉曲面內電荷的代數和，與曲面內電荷的分布情況無關，與封閉曲面外的電荷亦無關。在真空的情況下,Σq是包圍在封閉曲面內的自由電荷的代數和。