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微積分的基本公式共有四大公式:1.牛頓-萊布尼茨公式，又稱為微積分基本公式2.格林公式，把封閉的曲線積分化為區(qū)域內(nèi)的二重積分，它是平面向量場散度的二重積分3.高斯公式，把曲面積分化為區(qū)域內(nèi)的三重積分，它是平面向量場散度的三重積分4.斯托克斯公式，與旋度有關(guān)。這四大公式構(gòu)成了經(jīng)典微積分學(xué)教程的骨干。

牛頓-萊布尼茨公式

基本簡介：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且存在原函數(shù)f(x)，則f(x)在[a,b]上可積，且萊布尼茨公式，這即為牛頓-萊布尼茨公式。理解:比如路程公式:度v*時間t，*t，那么如果t是從時間a開始計算到時間b為止，-a，而如果v不能在這個時間段內(nèi)保持均速，那么上面的這個公式(*t，-a)就不能和諧的得到正確結(jié)果，于是引出了定積分的概念。

公式應(yīng)用：那么如何在用積分得到上述路程公式呢

公式這個公式能表明路程s是每個不同速度時候行駛的時間和當(dāng)前速度乘積的和。牛頓-萊布尼茨公式的意義就在于把不定積分與定積分聯(lián)系了起來，也讓定積分的運算有了一個完善、令人滿意的方法。下面就是該公式的證明全過程:對函數(shù)f(x)于區(qū)間[a,b]上的定積分表達為:

b∫a*f(x)dx

現(xiàn)在我們把積分區(qū)間的上限作為一個變量，這樣我們就定義了一個新的函數(shù):

Φ(x)=x∫a*f(x)dx

但是這里x出現(xiàn)了兩種意義，一是表示積分上限，二是表示被積函數(shù)的自變量，但定積分中被積函數(shù)的自變量取一個定值是沒意義的。為了只表示積分上限的變動，我們把被積函數(shù)的自變量改成別的字母如t，這樣意義就非常清楚了:

Φ(x)=x∫a*f(t)dt

研究這個函數(shù)Φ(x)的性質(zhì):1、定義函數(shù)Φ(x)=x(上限)∫a(下限)f(t)dt，則Φ與格林公式和高斯公式的聯(lián)系

'(x)=f(x)。

證明:讓函數(shù)Φ(x)獲得增量Δx，則對應(yīng)的函數(shù)增量

(xΔx)-Φ(x)=xΔx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt

顯然，xΔx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt

Δx(上限)∫x(下限)f(t)(ξ)Δx(ξ在x與xΔx之間，可由定積分中的中值定理推得，當(dāng)Δx趨向于0也就是ΔΦ趨向于0時，ξ趨向于x，f(ξ)趨向于f(x)，故有l(wèi)imΔx→0ΔΦ/(x)

可見這也是導(dǎo)數(shù)的定義,所以最后得出Φ'(x)=f(x)。

2、b(上限)∫a(下限)f(x)(b)-f(a)，f(x)是f(x)的原函數(shù)。

證明:我們已證得Φ'(x)=f(x)，故Φ(x)(x)

但Φ(a)=0(積分區(qū)間變?yōu)閇a,a]，故面積為0)，所以f(a)=c

于是有Φ(x)f(a)=f(x)，時，Φ(b)=f(b)-f(a),

而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt，所以b(上限)∫a(下限)f(t)(b)-f(a)

把t再寫成x，就變成了開頭的公式，該公式就是牛頓-萊布尼茨公式。

高階導(dǎo)數(shù)萊布尼茲公式

(uv)^(n)=∑(n，)c(k,n)*u^(n-k)*v^(k)

注:c(k,n)=n!/(k!(n-k)!)^代表后面括號及其中內(nèi)容為上標(biāo)，求xx階導(dǎo)數(shù)

格林公式